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<title>Innenwinkel</title>
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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Innenwinkel</span></h1>
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</div>
<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">
<p>Die <b>Innenwinkel</b> eines <a href="Polygon" title="Polygon">Polygons</a> sind in der <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> die <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a>, die durch zwei benachbarte Polygonseiten eingeschlossen werden und im <a href="Innerer_Punkt" title="Innerer Punkt">Inneren</a> des Polygons liegen. Die <a href="Ecke" title="Ecke">Ecken</a> des Polygons bilden dabei die <a href="Scheitelpunkt_(Winkel)" class="mw-redirect" title="Scheitelpunkt (Winkel)">Scheitelpunkte</a> der Innenwinkel. Jedes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>n</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span>-Eck besitzt genau <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>n</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> Innenwinkel. In einem nicht-<a href="%C3%9Cberschlagenes_Polygon" class="mw-redirect" title="Überschlagenes Polygon">überschlagenen</a> Polygon hängt die <a href="Innenwinkelsumme" class="mw-redirect" title="Innenwinkelsumme">Innenwinkelsumme</a> nur von der Anzahl der Ecken des Polygons ab. Ein <a href="Nebenwinkel" class="mw-redirect" title="Nebenwinkel">Nebenwinkel</a> eines Innenwinkels, der durch Verlängerung einer Polygonseite entsteht, wird <a href="Au%C3%9Fenwinkel" title="Außenwinkel">Außenwinkel</a> genannt.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bezeichnungen">Bezeichnungen</h2></div>
<p>Werden die Ecken eines Polygons mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A,B,C,\ldots }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>A</mi>
<mo>,</mo>
<mi>B</mi>
<mo>,</mo>
<mi>C</mi>
<mo>,</mo>
<mo>…<!-- … --></mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A,B,C,\ldots }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a54d09b92751398c44c3cebb295f33ff6c1e4fdf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.098ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A,B,C,\ldots }" loading="lazy"></span> bezeichnet, so werden die Innenwinkel meist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>α<!-- α --></mi>
<mo>,</mo>
<mi>β<!-- β --></mi>
<mo>,</mo>
<mi>γ<!-- γ --></mi>
<mo>,</mo>
<mo>…<!-- … --></mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4dfa0423ad729cc9b43c1be6c65b94d86296aef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.907ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots }" loading="lazy"></span> genannt. Die Ecke <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>A</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> ist dabei der Scheitelpunkt des Winkels <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>α<!-- α --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"></span>, die Ecke <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>B</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"></span> der Scheitelpunkt des Winkels <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>β<!-- β --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"></span> und so weiter. Bei einem <a href="Dreieck" title="Dreieck">Dreieck</a> wird die dem Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>α<!-- α --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"></span> gegenüberliegende Seite mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>a</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> bezeichnet, die dem Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>β<!-- β --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"></span> gegenüberliegende Seite mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle b}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>b</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle b}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.998ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle b}" loading="lazy"></span> und so fort (siehe Abbildung).<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezialfälle"><span id="Spezialf.C3.A4lle"></span>Spezialfälle</h2></div>
<ul><li>Sind in einem Dreieck alle Innenwinkel kleiner als <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 90^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mn>90</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 90^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c326d317eddef3ad3e6625e018a708e290a039f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 90^{\circ }}" loading="lazy"></span>, heißt es <a href="Spitzwinkliges_Dreieck" title="Spitzwinkliges Dreieck">spitzwinklig</a>; misst einer der Innenwinkel genau <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 90^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mn>90</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 90^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c326d317eddef3ad3e6625e018a708e290a039f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 90^{\circ }}" loading="lazy"></span>, <a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinklig</a>; und ist einer der Innenwinkel größer als <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 90^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mn>90</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 90^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c326d317eddef3ad3e6625e018a708e290a039f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 90^{\circ }}" loading="lazy"></span>, <a href="Stumpfwinkliges_Dreieck" title="Stumpfwinkliges Dreieck">stumpfwinklig</a>. Bei einem <a href="Gleichschenkliges_Dreieck" title="Gleichschenkliges Dreieck">gleichschenkligen Dreieck</a> sind zwei der drei Innenwinkel gleich groß.</li></ul>
<ul><li>Sind bei einem <a href="Viereck" title="Viereck">Viereck</a> je zwei gegenüber liegende Innenwinkel gleich groß, liegt ein <a href="Parallelogramm" title="Parallelogramm">Parallelogramm</a> vor; sind je zwei nebeneinander liegende Innenwinkel gleich groß, ein <a href="Gleichschenkliges_Trapez" class="mw-redirect" title="Gleichschenkliges Trapez">gleichschenkliges Trapez</a>. Bei einem <a href="Sehnenviereck" title="Sehnenviereck">Sehnenviereck</a> ergänzen sich je zwei gegenüberliegende Innenwinkel zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 180^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mn>180</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 180^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5d0431ce231935522dc0cb52df7f2b406cdadc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.542ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 180^{\circ }}" loading="lazy"></span>.</li></ul>
<ul><li>Bei einem <a href="Gleichwinkliges_Polygon" title="Gleichwinkliges Polygon">gleichwinkligen Polygon</a> sind alle Innenwinkel gleich groß. Wichtige Beispiele für gleichwinklige Polygone sind die <a href="Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Polygon" title="Regelmäßiges Polygon">regelmäßigen Polygone</a>, beispielsweise das <a href="Gleichseitiges_Dreieck" title="Gleichseitiges Dreieck">gleichseitige Dreieck</a>, das <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrat</a> oder das <a href="Regelm%C3%A4%C3%9Figes_F%C3%BCnfeck" class="mw-redirect" title="Regelmäßiges Fünfeck">regelmäßige Fünfeck</a>, bei denen auch alle Seiten gleich lang sind.</li></ul>
<ul><li>In einem <a href="Konvexes_Polygon" class="mw-redirect" title="Konvexes Polygon">konvexen Polygon</a> messen alle Innenwinkel höchstens <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 180^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mn>180</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 180^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5d0431ce231935522dc0cb52df7f2b406cdadc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.542ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 180^{\circ }}" loading="lazy"></span>. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es demnach mindestens eine einspringende Ecke mit einem Innenwinkel von mehr als <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 180^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mn>180</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 180^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5d0431ce231935522dc0cb52df7f2b406cdadc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.542ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 180^{\circ }}" loading="lazy"></span>.</li></ul>
<ul><li>Zwei Polygone sind nicht notwendigerweise zueinander <a href="%C3%84hnlichkeit_(Geometrie)" title="Ähnlichkeit (Geometrie)">ähnlich</a>, wenn alle einander entsprechenden Innenwinkel übereinstimmen. Zum Beispiel sind Rechtecke mit verschiedenen Seitenverhältnissen nicht ähnlich zueinander.</li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Winkelsumme">Winkelsumme</h3></div>
<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Winkelsumme" title="Winkelsumme">Winkelsumme</a></i></div>
<p>Die Summe der Innenwinkel eines nicht <a href="%C3%9Cberschlagenes_Polygon" class="mw-redirect" title="Überschlagenes Polygon">überschlagenen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>n</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span>-Ecks ergibt sich in der <a href="Euklidische_Geometrie" title="Euklidische Geometrie">euklidischen Geometrie</a> stets zu
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\dotsb =(n-2)\cdot 180^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>α<!-- α --></mi>
<mo>+</mo>
<mi>β<!-- β --></mi>
<mo>+</mo>
<mi>γ<!-- γ --></mi>
<mo>+</mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo>=</mo>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>n</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>2</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<msup>
<mn>180</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\dotsb =(n-2)\cdot 180^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/93be1d09c142a0d76e3934f07f34f1ad72c9210e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.852ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\dotsb =(n-2)\cdot 180^{\circ }}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>
<p>In einem Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme daher immer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 180^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mn>180</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 180^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5d0431ce231935522dc0cb52df7f2b406cdadc3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.542ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 180^{\circ }}" loading="lazy"></span>, in einem <a href="Viereck" title="Viereck">Viereck</a> immer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 360^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mn>360</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 360^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb451712d2b1f32ec132e9cf56eca04a64cad60e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.542ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 360^{\circ }}" loading="lazy"></span> und in einem <a href="F%C3%BCnfeck" title="Fünfeck">Fünfeck</a> immer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 540^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mn>540</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 540^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f4f6403f38fdfe949860e83226daed95781a84c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.542ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 540^{\circ }}" loading="lazy"></span>. In einem gleichwinkligen (und damit speziell auch in einem regelmäßigen) Polygon mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>n</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> Ecken ergeben sich damit alle Innenwinkel zu
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =\dotsb ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>α<!-- α --></mi>
<mo>=</mo>
<mi>β<!-- β --></mi>
<mo>=</mo>
<mi>γ<!-- γ --></mi>
<mo>=</mo>
<mo>⋯<!-- ⋯ --></mo>
<mo>=</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<mn>2</mn>
</mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<msup>
<mn>180</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =\dotsb ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f5348c14a5322818a9cb00539af4baaffa17da2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.653ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =\dotsb ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>
<p>In einem gleichseitigen Dreieck messen daher alle Innenwinkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 60^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mn>60</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 60^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08c42292485b447b7f627a7accd90d5b439c11d0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 60^{\circ }}" loading="lazy"></span>, in einem Quadrat <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 90^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mn>90</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 90^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c326d317eddef3ad3e6625e018a708e290a039f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 90^{\circ }}" loading="lazy"></span> und in einem regelmäßigen Fünfeck <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 108^{\circ }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msup>
<mn>108</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>∘<!-- ∘ --></mo>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 108^{\circ }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd905b3d50a310d3eee16e9024ceb780ee15e3c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:4.542ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 108^{\circ }}" loading="lazy"></span>. Diese Aussagen gelten in <a href="Nichteuklidische_Geometrie" title="Nichteuklidische Geometrie">nichteuklidischen Geometrien</a> jedoch nicht mehr. In einer <a href="Elliptische_Geometrie" title="Elliptische Geometrie">elliptischen Geometrie</a>, beispielsweise auf einer <a href="Kugeloberfl%C3%A4che" class="mw-redirect" title="Kugeloberfläche">Kugeloberfläche</a>, ist die Innenwinkelsumme stets größer als in der euklidischen Geometrie, in einer <a href="Hyperbolische_Geometrie" title="Hyperbolische Geometrie">hyperbolischen Geometrie</a>, beispielsweise auf einer <a href="Sattelfl%C3%A4che" title="Sattelfläche">Sattelfläche</a>, stets kleiner.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Winkelhalbierende">Winkelhalbierende</h3></div>
<p>Die <a href="Winkelhalbierende" title="Winkelhalbierende">Winkelhalbierenden</a> der Innenwinkel eines <a href="Tangentenvieleck" title="Tangentenvieleck">Tangentenvielecks</a>, beispielsweise eines Dreiecks oder einer <a href="Raute" title="Raute">Raute</a>, treffen sich im <a href="Inkreis" title="Inkreis">Inkreismittelpunkt</a> des Vielecks.
</p><p>In einem Dreieck teilt jede Innenwinkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im <a href="Verh%C3%A4ltnis_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Verhältnis (Mathematik)">Verhältnis</a> der beiden anliegenden Seiten. Zudem schneidet sie die Winkelhalbierenden der beiden nicht anliegenden Außenwinkel im Mittelpunkt des <a href="Ankreis" title="Ankreis">Ankreises</a> der gegenüberliegenden Seite.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mathematische_Sätze"><span id="Mathematische_S.C3.A4tze"></span>Mathematische Sätze</h3></div>
<p>Beziehungen zwischen den Innenwinkeln und den Seiten eines Dreiecks stellen unter anderem der <a href="Sinussatz" title="Sinussatz">Sinussatz</a>, der <a href="Kosinussatz" title="Kosinussatz">Kosinussatz</a>, der <a href="Tangenssatz" title="Tangenssatz">Tangenssatz</a>, die <a href="Halbwinkelsatz" title="Halbwinkelsatz">Halbwinkelsätze</a> und die <a href="Mollweidesche_Formeln" title="Mollweidesche Formeln">mollweideschen Formeln</a> her.
</p><p>Nach dem <a href="Au%C3%9Fenwinkelsatz" title="Außenwinkelsatz">Außenwinkelsatz</a> ist jeder Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel. Nach dem Satz von Morley ist das <a href="Morley-Dreieck" title="Morley-Dreieck">Morley-Dreieck</a>, welches durch <a href="Dreiteilung_des_Winkels" title="Dreiteilung des Winkels">Drittelung</a> der drei Innenwinkel eines Dreiecks entsteht, stets gleichseitig.
</p><p>In gleichwinkligen Polygonen gilt der <a href="Satz_von_Viviani" title="Satz von Viviani">Satz von Viviani</a>, nach dem die Summe der Abstände von einem beliebigen Punkt im Inneren des Polygons zu den Polygonseiten unabhängig von der Position des Punkts ist.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>
<ul><li>Arnfried Kemnitz: <cite style="font-style:italic">Mathematik zum Studienbeginn</cite>. Springer, 2014, ISBN 978-3-658-02081-1.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Innenwinkel&rft.au=Arnfried+Kemnitz&rft.btitle=Mathematik+zum+Studienbeginn&rft.date=2014&rft.genre=book&rft.isbn=9783658020811&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li>
<li><a href="Ilka_Agricola" title="Ilka Agricola">Ilka Agricola</a>, <a href="Thomas_Friedrich_(Mathematiker)" title="Thomas Friedrich (Mathematiker)">Thomas Friedrich</a>: <cite style="font-style:italic">Elementargeometrie</cite>. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-9826-5.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Innenwinkel&rft.au=Ilka+Agricola%2C+Thomas+Friedrich&rft.btitle=Elementargeometrie&rft.date=2010&rft.genre=book&rft.isbn=9783834898265&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>
<ol class="references">
<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Arnfried Kemnitz: <cite style="font-style:italic">Mathematik zum Studienbeginn</cite>. Springer, 2014, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>131–132</span>.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Innenwinkel&rft.au=Arnfried+Kemnitz&rft.btitle=Mathematik+zum+Studienbeginn&rft.date=2014&rft.genre=book&rft.pages=131-132&rft.pub=Springer" style="display:none"> </span></span>
</li>
</ol>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>
<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Innenwinkel" class="extiw external" title="wikt:Innenwinkel">Wiktionary: Innenwinkel</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>
<ul><li><span class="cite"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.geogebra.org/m/hbx56w5n"><i>Interaktive Darstellung des Innenwinkelsatzes an einem Dreieck.</i></a> In: <i><a href="GeoGebra" title="GeoGebra">GeoGebra</a>.</i><span class="Abrufdatum" style="display:none"> Abgerufen am 23. Juli 2022</span></span><span style="display: none;" class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Adc&rfr_id=info%3Asid%2Fde.wikipedia.org%3AInnenwinkel&rft.title=Interaktive+Darstellung+des+Innenwinkelsatzes+an+einem+Dreieck&rft.description=Interaktive+Darstellung+des+Innenwinkelsatzes+an+einem+Dreieck&rft.identifier=https%3A%2F%2Fwww.geogebra.org%2Fm%2Fhbx56w5n"> </span></li></ul></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2022-07-23" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Innenwinkel&oldid=224756840">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.
</div>
</div><!--/htdig_noindex--></div>
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